QUESTIO MATH ESSAY WORKBOOK SERIES
2027학년도 대입 수리논술 대비경기대학교
[ 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)분 (총 10문항 전수 수록) ]
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• 본 모의고사는 경기대학교 표준 시험 규격(1회당 2문항 100분, 총 100점 만점)에 완벽 부합하도록 제작되었습니다.
• 경기대학교 자연계열(소프트웨어학부, AI컴퓨터공학부 등) 최신 2개년 기출 경향을 100% 반영하였습니다.
• 각 문항별 제시문 독해, 단계별 논리 전개 및 실전 답안지 양식(A4 1문항 1페이지)으로 완결됩니다.
QUESTIO 입시연구소 수학연구팀 · QUESTIO PUBLISHING
경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)분 로드맵
경기대학교 자연계열 수리논술은 고등학교 『수학』, 『수학Ⅰ』, 『수학Ⅱ』 공통 교육과정의 핵심 정리와 공식에 기반하여 실생활 수학적 모델링, 등비수열과 상용로그의 융합, 도함수의 기하학적 접선 활용, 그리고 정적분의 대칭성 및 영역 분할을 집중적으로 평가합니다.
제1회 모의고사 (시험시간: 100분 / 100점 만점)
• 문항 1 (45점) : 수학·수Ⅰ (소인수분해 지수의 합 함수 \(\Omega(m)\) 정의, 330 배수 경우의 수 판정 및 \(\sum\) 계산)문항 2 (55점) : 수학·수Ⅱ (점대칭 삼차함수 결정, 평행한 두 접선 사이 거리로 결정되는 원의 넓이 극한과 다항함수 점근선)
제2회 모의고사 (시험시간: 100분 / 100점 만점)
• 문항 1 (50점) : 수Ⅰ (신종 바이러스 방역 치료제 투약 회복률 등비수열 모델링 및 상용로그 기반 1% 이하 최소비용 최적화)문항 2 (50점) : 수Ⅱ (포물선 \(y=x^2\)과 직선 \(y=k\)로 둘러싸인 정적분 영역의 12등분 분할 및 대칭 경계점 좌표)
제3회 모의고사 (시험시간: 100분 / 100점 만점)
• 문항 1 (40점) : 수Ⅰ (로그함수와 등비수열 좌표가 형성하는 사다리꼴 넓이 수열 \(S_n\) 일반항 유도 및 수열의 합 \(\sum\))문항 2 (60점) : 수Ⅰ (원궤도 회전 무인 드론의 상대 각속도 운동, 삼각형의 넓이 부등식 조건 및 12시간 동안의 지속시간 적산)
제4회 모의고사 (시험시간: 100분 / 100점 만점)
• 문항 1 (45점) : 수Ⅰ (시험 비행체 낙하 궤적의 탄젠트 기울기 합 및 지면 착지 거리 수열의 부분분수 망원합 계산)문항 2 (55점) : 수Ⅱ (도심항공교통 UAM의 삼차함수 고도 경로 극값 결정 및 변곡점 비상 활공 접선 지면 충돌점 산출)
제5회 모의고사 (시험시간: 100분 / 100점 만점)
• 문항 1 (45점) : 수학·수Ⅰ (3의 거듭제곱 지수 추출 함수 \(v_3(m)\) 정의 및 팩토리얼 수열 \(a_n = 3^n imes n!\)의 지수 합)문항 2 (55점) : 수Ⅱ (삼차함수 위의 점에서의 접선 방정식, 다른 교점 좌표 유도 및 둘러싸인 도형의 넓이 공식 적용)
[가] 자연수의 소인수분해를 통해 자연수의 약수와 배수의 구조를 체계적으로 파악할 수 있으며, 경우의 수를 체계적으로 분류하는 논리적 사고는 복잡한 수학적 대상을 분석하는 필수적인 도구이다. (고등학교 『수학』)
[나] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 합의 기호 \(\sum\)를 사용하여 다음과 같이 나타낸다: \[a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[논제] 임의의 자연수 \(m\)의 소인수분해에서 나타나는 소인수(중복 허용)의 총 개수를 \(\Omega(m)\)이라고 하자. 즉, \(m = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\) (단, \(p_i\)는 서로 다른 소수, \(e_i\)는 자연수)일 때 \(\Omega(m) = e_1 + e_2 + \cdots + e_k\)이다. 예를 들면, \(18 = 2 \times 3^2\)이므로 \(\Omega(18) = 1 + 2 = 3\)이다. (단, \(\Omega(1) = 0\)이다.)
(1) \(330\)으로 나누어떨어지고 \(\Omega(m) = 6\)인 \(15000\) 이하의 자연수 \(m\)의 개수를 구하시오. [20점]
(2) 자연수 \(a\)와 \(b\)에 대하여 \(\Omega(a) = 4\)이고 \(\Omega(b) = 2\)일 때, \(\sum_{n=1}^{10} \Omega(n^2 a b^n)\)의 값을 구하시오. [25점]
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배점: 45점
[가] 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 기울기는 미분계수 \(f'(t)\)이며, 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다. 또한 평행한 두 직선 사이의 거리는 한 직선 위의 임의의 점에서 다른 직선에 이르는 거리와 같다. (고등학교 『수학』, 『수학Ⅱ』)
[논제] \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이고 점 \(P(1, 2)\)에 대하여 점대칭이다. 곡선 \(y=f(x)\)의 기울기가 \(m\)인 접선이 \(m > -3\)일 때 두 개, \(m = -3\)일 때 한 개 존재하고, \(m < -3\)일 때는 존재하지 않는다. 또한 \(m > -3\)일 때 기울기 \(m\)을 갖는 두 평행한 접선 사이의 거리를 지름으로 하는 원의 넓이를 \(g(m)\)이라 하자. 이때 \(g(0) = 4\pi\)이다.
(1) 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오. [25점]
(2) \(\lim_{m \to \infty} [g(m) - h(m)] = 0\)을 만족하는 일차 다항함수 \(h(m)\)을 구하시오. [30점]
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배점: 55점
[가] 어떤 수량의 시간에 따른 변화율이 일정할 때 등비수열을 이용하여 현상을 수학적으로 모델링할 수 있으며, 상용로그를 활용하여 매우 크거나 작은 수의 자리수와 부등식을 해결할 수 있다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[나] 상용로그 \(\log_{10} N\)에서 \(\log 2 = 0.30, \log 3 = 0.48\)로 계산한다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[논제] 신종 바이러스에 감염된 환자 집단 \(a\) (\(a > 0\))명이 있다. 방역 센터는 치료제 A와 치료제 B 중 하나를 매일 선택하여 환자 집단 전체에 일괄 투약한다. 치료제 A를 처음 투약할 때 남아 있는 환자의 \(\frac{3}{4}\)이 다음 날 완치되고(남은 환자는 \(\frac{1}{4}\)), 치료제 A를 두 번째부터 투약하면 남아 있는 환자의 \(\frac{1}{4}\)이 다음 날 완치된다(남은 환자는 \(\frac{3}{4}\)). 치료제 B를 투약하면 남아 있는 환자의 \(\frac{2}{5}\)가 다음 날 완치된다(남은 환자는 \(\frac{3}{5}\)). 1회 투약 비용은 환자 수와 무관하게 회당 A는 \(12\)만 원, B는 \(8\)만 원이다.
(1) 치료제를 총 \(n\)번 투약할 때, 남아 있는 환자의 수가 가장 적게 되는 투약 방법(순서 및 횟수)과 그때 남은 환자의 수를 구하시오. [20점]
(2) 남아 있는 환자의 수를 최초 환자 수의 \(1\%\) 이하(\(0.01a\) 이하)로 줄이기 위해 필요한 최소 총 투약 비용을 구하시오. [30점]
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배점: 50점
[가] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(f(x) \ge g(x)\)일 때, 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx\)이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[논제] 곡선 \(y=x^2\)과 직선 \(y=k\) (\(k > \frac{5}{3}\))에 의해 둘러싸인 영역의 경계선 위에 점 \(A_1\)부터 \(A_{12}\)까지 \(12\)개의 점이 순서대로 반시계 방향으로 놓여 있다. 점 \(P\left(0, \frac{5}{3}\right)\)와 \(A_1\)부터 \(A_{12}\)까지 \(12\)개의 점을 각각 잇는 선분들로 이 영역의 넓이를 \(12\)등분하고자 한다. \(A_1\)은 원점 \((0, 0)\)이고 \(A_2\)의 좌표는 \((2, 4)\)이다.
(1) 상수 \(k\)의 값을 구하시오. [20점]
(2) 주어진 경계선 위의 \(12\)개의 점 중에서 직선 \(y=k\) 위에 있는 점들의 좌표를 모두 구하시오. [30점]
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배점: 50점
[가] 첫째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\)인 등비수열의 일반항은 \(a_n = a r^{n-1}\)이며, 로그의 정의 및 성질에 따라 \(\log_a (a^n) = n\)이 성립한다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[나] 자연수 거듭제곱의 합 공식: \[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[논제] 함수 \(f(x) = \log_2 x\)이고, 수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항이 \(2\)이고 공비가 \(2\)인 등비수열이다. 자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)축 위의 두 점 \(A_n(a_n, 0)\), \(B_n(a_{n+1}, 0)\)과 곡선 \(y=f(x)\) 위의 두 점 \(C_n(a_{n+1}, f(a_{n+1}))\), \(D_n(a_n, f(a_n))\)을 네 꼭짓점으로 하는 사다리꼴을 \(T_n\)이라 하자.
(1) 사다리꼴 \(T_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(S_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오. [15점]
(2) \(\sum_{k=1}^n \frac{S_k}{2^{k-1}}\)의 값을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오. [25점]
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배점: 40점
[가] 삼각형 \(ABC\)에서 두 변의 길이가 \(b, c\)이고 그 끼인각의 크기가 \(A\)일 때, 삼각형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다: \[S = \frac{1}{2}bc \sin A \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[나] 원둘레를 일정한 속력으로 회전하는 물체의 회전각은 시간 \(t\)에 비례하며, 각속도를 \(\omega\)라 하면 시간 \(t\) 동안 회전한 각 \(\theta\)는 \(\theta = \omega t\)이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[논제] 관제 기지국 \(O\)를 중심으로 동일 평면 상의 원궤도를 회전하는 두 무인 관측 드론 A와 B가 있다. 기지국 \(O\)로부터 드론 A와 드론 B까지의 거리는 각각 \(6\text{km}\), \(10\text{km}\)이다. 두 드론은 일정한 속력으로 기지국 둘레를 반시계 방향으로 공전하는데, 드론 A는 \(3\)시간마다, 드론 B는 \(12\)시간마다 궤도를 한 바퀴 회전한다.
(1) 드론 B를 기준으로 드론 A가 반시계 방향으로 이루는 중심각을 \(\theta\)라 할 때, 세 점 \(O, A, B\)가 이루는 삼각형의 넓이가 \(15\sqrt{3}\text{km}^2\) 이상이 되는 \(\theta\)의 범위를 \(0 \le \theta \le 2\pi\)에서 구하시오. [25점]
(2) 두 드론이 동시에 기지국의 같은 방향선상에서 출발하여 총 \(12\)시간 동안 관측할 때, 세 점 \(O, A, B\)가 이루는 삼각형의 넓이가 \(15\sqrt{3}\text{km}^2\) 이상을 유지하는 총 시간(시간과 분)을 구하시오. [35점]
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배점: 60점
[가] 좌표평면 위의 두 점 \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)를 지나는 직선의 기울기는 \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)이며, 직선이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하면 \(m = \tan\theta\)이다. (고등학교 『수학』, 『수학Ⅰ』)
[나] 분수식의 부분분수 전개 공식: \[\frac{1}{A B} = \frac{1}{B - A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right) \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]
[논제] 수평 지면 위의 두 관측 지점 \(A\)와 \(B\) 사이의 거리가 \(1\text{km}\)이다. 시험 비행체 \(6\)기가 차례대로 두 지점 \(A, B\) 상공을 통과하여 직선 경로를 따라 지면에 착지하였다. 지면을 수평선으로 둘 때, \(n\)번째 비행체는 \(A\) 지점 상공 \((n+2)^2\text{km}\) 높이를 통과한 후, \(B\) 지점 상공에서는 모든 비행체가 \(4\text{km}\) 높이로 통과하였다. (단, \(n = 1, 2, \dots, 6\)이다.)
(1) \(n\)번째 비행체의 착지 경로 직선이 수평 지면과 이루는 예각의 크기를 \(\theta_n\)이라 할 때, \(\sum_{n=1}^6 \tan\theta_n\)의 값을 구하시오. [20점]
(2) \(n\)번째 비행체의 지면 착지 지점과 \(B\) 지점 사이의 거리를 \(a_n\text{km}\)라 할 때, \(\sum_{n=1}^6 a_n\)의 값을 구하시오. [25점]
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배점: 45점
[가] 함수 \(f(x)\)가 \(x=c\)에서 미분가능하고 극값을 가지면 \(f'(c) = 0\)이다. 또한 곡선 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[논제] 도심 항공 교통(UAM) 기체가 직선 항로를 따라 시험 비행을 수행하였다. UAM의 고도 경로는 삼차함수 \(y=f(x)\)의 그래프 개형을 따르기로 계획되었다. 지면의 원점 \(O(0, 0)\)에서 이륙하여 \(x=3\text{km}\) 지점 상공에서 최고 고도 \(3\text{km}\)에 도달(극대)하여 하강을 시작하고, \(x=9\text{km}\) 지점 상공에서 최저 고도 \(1\text{km}\)에 도달(극소)한 후 다시 상승하기로 계획되었다. 그런데 시험 비행 중 UAM이 두 극점의 중점인 \(x=6\text{km}\) 상공을 지나는 순간 주동력 계통에 이상이 발생하여 조종력을 상실하고, 당시의 접선 방향을 유지한 채 관성 활공 비행하여 지면에 비상 착륙(충돌)하게 되었다.
(1) 계획된 삼차함수 비행경로 \(f(x)\)의 식을 구하시오. [25점]
(2) 동력 상실 순간의 활공 비행경로(접선)의 방정식을 구하고, UAM이 지면에 착륙(충돌)하는 지점의 \(x\)좌표를 구하시오. [30점]
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배점: 55점
[가] 자연수를 소인수분해할 때 특정 소인수의 거듭제곱 지수는 그 수가 해당 소수로 나누어떨어지는 최대 횟수를 의미한다. 수열의 규칙성을 바탕으로 특정 조건을 만족하는 항들의 합을 합의 기호 \(\sum\)를 통해 계산할 수 있다. (고등학교 『수학』, 『수학Ⅰ』)
[논제] 임의의 자연수 \(m\)에 대하여 \(m = 3^k \times q\) (단, \(k\)는 음이 아닌 정수, \(q\)는 \(3\)의 배수가 아닌 자연수)로 나타낼 때, 지수 \(k\)를 \(v_3(m) = k\)라고 하자. 예를 들면, \(18 = 3^2 \times 2\)이므로 \(v_3(18) = 2\)이고, \(10 = 3^0 \times 10\)이므로 \(v_3(10) = 0\)이다.
(1) \(1\) 이상 \(100\) 이하의 자연수 \(m\) 중에서 \(v_3(m) \ge 2\)를 만족하는 자연수 \(m\)의 개수를 구하시오. [20점]
(2) 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_n = 3^n \times n!\) (단, \(n! = 1 \times 2 \times \dots \times n\))로 정의될 때, \(\sum_{n=1}^{10} v_3(a_n)\)의 값을 구하시오. [25점]
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배점: 45점
[가] 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이며, 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 두 함수의 차를 적분하여 구한다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[나] 삼차함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 접선이 만나는 두 교점의 \(x\)좌표를 각각 접점 \(x = \alpha\), 다른 교점 \(x = \beta\)라 할 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 공식화된다: \[S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4 \quad (a\text{는 최고차항의 계수})\]
[논제] 곡선 \(y = x^3 - 3x^2\) 위의 점 \(P(t, t^3 - 3t^2)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 접선 \(l\)이 곡선과 다시 만나는 점을 \(Q\)라 하자. (단, \(t \ne 1\)이다.)
(1) 접선 \(l\)의 방정식과 점 \(Q\)의 좌표를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. [25점]
(2) 접선 \(l\)과 곡선 \(y = x^3 - 3x^2\)으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(S(t)\)의 식을 구하고 \(t = 0\) 및 \(t = 2\)일 때의 넓이를 구하시오. [30점]
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배점: 55점
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2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.8 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 202} + 202\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 408\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 408\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 408)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 408\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 408)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 408\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(204, 204)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 204)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 408)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 408 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{408}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{205}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/205)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{205}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 205\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 199\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 199}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{54325}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 206\right)\)로 정의된다.<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 15xy(x+y) - 202\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 202\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 15xy(x + y) - 202\)을 만족시키고 \(f'(0) = 206\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 202\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 15x^2 + 206\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 5x^3 + 206x + 202\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 413)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 266\right)\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 594)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 594)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 594]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 594)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1188t^2 + 352836t = t(t - 594)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 594\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(594) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 594]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 198)(t - 594)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(198) = 31049568\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 2376 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 396\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(396) = 15524784\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 199)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (199, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{199} (-6x^2 + 1194x)\,dx = 7880599\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{199}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(7880599\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1194x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 597x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1194x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 7880599\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 7880599\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{199}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{199/2} (-6x^2 + 1194x)\,dx = \dfrac{7880599}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1194x\)와 직선 \(y = 597x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{7880599}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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\(\omega_{158,17} = 15817x + 6\) \(\omega_{158,18} = 15818x + 6\) \(\omega_{158,19} = 15819x + 6\) \(\omega_{158,20} = 15820x + 6\) \(\omega_{158,21} = 15821x + 6\) \(\omega_{158,22} = 15822x + 6\) \(\omega_{158,23} = 15823x + 6\) \(\omega_{158,24} = 15824x + 6\) \(\omega_{158,25} = 15825x + 6\) \(\omega_{158,26} = 15826x + 6\) \(\omega_{158,27} = 15827x + 6\) \(\omega_{158,28} = 15828x + 6\) \(\omega_{158,29} = 15829x + 6\) \(\omega_{158,30} = 15830x + 6\) \(\omega_{158,31} = 15831x + 6\) \(\omega_{158,32} = 15832x + 6\) \(\omega_{158,33} = 15833x + 6\) \(\omega_{158,34} = 15834x + 6\)
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2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{209}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 207\)이다.<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{209}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 206\sqrt{209}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{209}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 207\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 42847\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 206\sqrt{209}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 8869122\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{8869124}{206\sqrt{209}}\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=594,\; c=990\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1386\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 2970\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{2970}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 594,\; c = 990\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=594\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1386\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1386\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{588060\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{198\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1410\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 201} \dfrac{f(x)}{(x - 201)^2} = 399\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 201)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1410\)과 \(\lim_{x \to 201} \dfrac{f(x)}{(x - 201)^2} = 399\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 201)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -204\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 201)^2(3x + -204)\)이 무한대 극한 조건 \(-1410\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(203) = 1620\)의 값과 \(x = 201\)에서의 미분계수 \(f'(201) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 401x + 40198\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 202|P(x)\)가 \(x = 202\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(202) = 0\)인 것이다.<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 202)(x - 199)\)일 때 구간 \(x \lt 202\)에서 \(h(x) = -(x - 202)^2(x - 199)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 401x + 40198\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 202|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 202\)에서의 우미분계수 \(P(202)\)와 좌미분계수 \(-P(202)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(202) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 202\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 202)(x - 200)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 202\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 200\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(200) = -4\;(\text{기준점 } 202)\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 611\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 611\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 204\)에 대한 일차방정식을 얻는다.<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 611)\,dx = 1224\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 611\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 611)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 204\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 816x + 611\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{408}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -202\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 816x + 611)\,dx = 1224\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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\(\omega_{159,17} = 15917x + 7\) \(\omega_{159,18} = 15918x + 7\) \(\omega_{159,19} = 15919x + 7\) \(\omega_{159,20} = 15920x + 7\) \(\omega_{159,21} = 15921x + 7\) \(\omega_{159,22} = 15922x + 7\) \(\omega_{159,23} = 15923x + 7\) \(\omega_{159,24} = 15924x + 7\) \(\omega_{159,25} = 15925x + 7\) \(\omega_{159,26} = 15926x + 7\) \(\omega_{159,27} = 15927x + 7\) \(\omega_{159,28} = 15928x + 7\) \(\omega_{159,29} = 15929x + 7\) \(\omega_{159,30} = 15930x + 7\) \(\omega_{159,31} = 15931x + 7\) \(\omega_{159,32} = 15932x + 7\) \(\omega_{159,33} = 15933x + 7\) \(\omega_{159,34} = 15934x + 7\)
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2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{197},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{197}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 620944\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{620944}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{197},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{197}\)이며, 크기 \(n = 620944\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{197}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 197)\)를 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 620944\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{788} = \dfrac{3}{4925}\)를 유도하시오.
[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{123125}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 582x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 582\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 582 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 582}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 582x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 582(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 2-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 585\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{582}\)와 \(g'(585) = \dfrac{1}{585}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((585, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{585}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(585)} = 1167\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
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90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 1188\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1188)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1188)\,dt = 3x^2 - 1188x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1188\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1188)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 1188x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 1188\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(396) = 31049568\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 198\)에서의 함숫값 \(F(198) = -15524784\)과 접선의 기울기 \(F'(198) = -117612\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 784x\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(196, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -196\)까지의 거리 \(x_1 + 196\)와 같다.<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 784x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(784, 784)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = \dfrac{1}{2}x + 392\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}(196, 0)\)인 포물선 \(y^2 = 784x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(784, 784)\)에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 \(x = -196\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PF}} = 980\)의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(784, 784)\)에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 \(\mathrm{Q}(-784, 0)\)을 구하여 \(\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 980\)임을 증명하시오.
[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 \(980\)와 높이 \(784\)로부터 삼각형의 넓이 \(S = 384160\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(588, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 588, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 588)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 588\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 588)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 588\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{345744}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(588, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 588, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 588)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 588\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 588 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 196\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{345744}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{345744\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 33882912\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 205} + 205\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 414\)에 대하여 서로 대칭이다.<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 414\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 414)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 414\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 414)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 414\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(207, 207)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 207)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 414)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 414 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{414}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=600,\; c=1000\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1400\right)\)이 성립한다.<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 3000\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{3000}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 600,\; c = 1000\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=600\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1400\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1400\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{600000\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{200\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 1194\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1194)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1194)\,dt = 3x^2 - 1194x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1194\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1194)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 1194x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 1194\)를 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(398) = 31522396\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 199\)에서의 함숫값 \(F(199) = -15761198\)과 접선의 기울기 \(F'(199) = -118803\)을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 603)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 603)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 603]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 603)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1206t^2 + 363609t = t(t - 603)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 603\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(603) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 603]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 201)(t - 603)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(201) = 32482404\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 2412 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 402\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(402) = 16241202\)를 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]
<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{198},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{198}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.<제시문 (나)> 크기 \(n = 627264\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{627264}}\)이다.
두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{198},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{198}\)이며, 크기 \(n = 627264\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{198}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 198)\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 627264\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{792} = \dfrac{3}{4950}\)를 유도하시오.
[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{123750}\)를 기약분수로 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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\(\omega_{161,17} = 16117x + 9\) \(\omega_{161,18} = 16118x + 9\) \(\omega_{161,19} = 16119x + 9\) \(\omega_{161,20} = 16120x + 9\) \(\omega_{161,21} = 16121x + 9\) \(\omega_{161,22} = 16122x + 9\) \(\omega_{161,23} = 16123x + 9\) \(\omega_{161,24} = 16124x + 9\) \(\omega_{161,25} = 16125x + 9\) \(\omega_{161,26} = 16126x + 9\) \(\omega_{161,27} = 16127x + 9\) \(\omega_{161,28} = 16128x + 9\) \(\omega_{161,29} = 16129x + 9\) \(\omega_{161,30} = 16130x + 9\) \(\omega_{161,31} = 16131x + 9\) \(\omega_{161,32} = 16132x + 9\) \(\omega_{161,33} = 16133x + 9\) \(\omega_{161,34} = 16134x + 9\)
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2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.12 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{209}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/209)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{209}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 209\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 204\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 204}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{54131}\)의 값을 유도하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
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90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1431\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 204} \dfrac{f(x)}{(x - 204)^2} = 405\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 204)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1431\)과 \(\lim_{x \to 204} \dfrac{f(x)}{(x - 204)^2} = 405\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 204)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -207\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 204)^2(3x + -207)\)이 무한대 극한 조건 \(-1431\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(206) = 1644\)의 값과 \(x = 204\)에서의 미분계수 \(f'(204) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
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90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 588x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 588\)인 \(c\)가 존재한다.<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 588 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 588}\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 588x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 588(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.
[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 591\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{588}\)와 \(g'(591) = \dfrac{1}{591}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((591, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{591}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(591)} = 1179\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
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90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 203)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (203, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{203} (-6x^2 + 1218x)\,dx = 8365427\)이다.<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{203}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(8365427\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1218x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 609x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1218x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 8365427\)를 유도하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 8365427\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{203}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{203/2} (-6x^2 + 1218x)\,dx = \dfrac{8365427}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1218x\)와 직선 \(y = 609x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{8365427}{8}\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집)
90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(594, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 594, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 594)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 594\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 594)\)이다.<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 594\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{352836}{2}\)가 성립한다.
좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(594, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 594, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 594)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 594\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 594 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 198\sqrt{3}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{352836}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{352836\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 34930764\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
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